Dietlinde Lau's Algebra und Diskrete Mathematik 2: Lineare Optimierung, PDF

By Dietlinde Lau

ISBN-10: 3540203982

ISBN-13: 9783540203988

ISBN-10: 354035025X

ISBN-13: 9783540350255

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. Dieses zweibändige Lehrbuch führt umfassend und lebendig in den Themenkomplex ein. Dabei ermöglichen ein klares Herausarbeiten von Lösungsalgorithmen, viele Beispiele, ausführliche Beweise und eine deutliche optische Unterscheidung des Kernstoffs von weiterführenden Informationen einen raschen Zugang zum Stoff. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben erleichtert nicht nur eine aktive Erarbeitung des Inhalts, sondern zeigt auch die unterschiedlichsten Anwendungsmöglichkeiten auf.

Zum Inhalt: Band 2 besteht aus den drei Teilen: Lineare Optimierung, Graphen und Algorithmen, Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen

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A x1 := ⎜ ⎜ bm − bi · amj ij ⎜ ⎜ 0 ⎜ .. ⎜ ⎜ . ⎜ ⎜ 0 ⎜ bi ⎜ aij ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎜ .. ⎝ . 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. 20). 2 eine Ecke von M ist. Zum Beweis unseres Satzes fehlt uns also nur noch der Nachweis, daß f (x1 ) > f (x0 ) ist. Wir betrachten dazu die Differenz aßt: f (x0 ) − f (x1 ), die sich wie folgt berechnen l¨ 30 2 Die Simplexmethode f (x0 ) − f (x1 ) m i−1 ck · bk − = k=1 ck · bk − bi · k=1 akj aij m ck · bk − bi · − k=i+1 akj aij bi = · (c1 · a1j + c2 · a2j + . . + cm · amj − cj ) aij bi = · gj .

Xn , xn+1 , . . , xn+m )T ≥ o ist mit Hilfe des oben angegebenen (modifizierten) Simplex-Algorithmus auf eine L¨ osung hin untersuchbar und eine L¨ osung von diesem LOP hat — wegen τ sehr groß — sicher die Eigenschaft xn+1 = xn+2 = . . = xn+m = 0, womit die erhaltene L¨ osung auch eine f¨ ur das Ausgangs-LOP liefert. 40 2 Die Simplexmethode Beispiel f (x1 , x2 , x3 , x4 ) := 3x1 − x2 + x3 + 4x4 −→ M ax. 40) Die Normalform f¨ ur dieses LOP lautet: f1 (x1 , x2 , x3 , x4 ) := −3x1 + x2 − x3 − 4x4 −→ M in.

21 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 wobei α1 > 0, α2 > 0, . . , αt > 0 seien. 2 sind dann die Spalten a1 , a2 , . . , at von A := (a1 , a2 , . . , an ) linear unabh¨angig. Zu diesen t Spalten kann es keine weitere von x verschiedene Ecke x ∈ M mit ⎛ ⎞ β1 ⎜ β2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ x := ⎜ ⎜ βt ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎝ .. ⎠ 0 geben, da aus x, x ∈ M die Gleichungen α1 · x1 + α2 · x2 + . . + αt · xt = b β1 · x1 + β2 · x2 + . . + βt · xt = b folgen und sich hieraus (α1 − β1 ) · a1 + (α2 − β2 ) · a2 + .

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Algebra und Diskrete Mathematik 2: Lineare Optimierung, Graphen und Algorithmen, Algebraische Strukturen und Allgemeine Algebra mit Anwendungen by Dietlinde Lau


by Mark
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